확률, 기대, 하우스 엣지를 위한 쉬운 룰렛 수학

이러한 투명성은 룰렛 규칙과 함께 관련된 확률을 쉽게 계산할 수 있게 해줍니다. 수학자가 아니더라도 공이 특정 숫자에 착지할 확률이 1/37 또는 1/38이라는 것을 알 수 있으며(유럽 룰렛과 미국 룰렛의 경우 각각 1/38), 많은 숫자가 포함된 베팅의 경우 칩을 놓은 숫자에 따라 확률이 증가합니다. 이 숫자는 서로 다르고 발생 가능성이 같기 때문입니다(또는 확률론적 관점에서 볼 때 발생하는 숫자의 기본 이벤트는 상호 배타적이고 동등한 확률입니다).

예를 들어, 길거리 베팅은 3/37 또는 3/38 확률(각각 8.10% 또는 7.89%)로, 12/37 또는 12/38 확률(각각 32.43% 또는 31.57%)로 12번의 베팅이 승리할 것입니다.

확률과 지급 일정을 알면 어떤 베팅의 수학적 기대치나 기대값, 즉 장기적으로 그 베팅의 승패에 대한 평균 금액을 쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 유럽 룰렛에 1달러의 지분을 가진 12개의 베팅은 12/37 × 2달러 ˗ 25/37 × 1달러 = 2.7센트의 기대치를 갖습니다. 일반적으로 베팅의 기대값(EV)은 다음과 같이 정의됩니다:

(승리 확률) × (승리하면 보상) + (패할 확률) × (패하면 손실).

이 공식은 베팅에서 이길 확률과 이길 수 없는 확률, 배당금(예시에서 2 대 1), 그리고 베팅 금액(지분)을 사용하며, 우리의 결과는 다음과 같습니다: 이 베팅을 무기한으로 여러 번 실행하면, 1달러 베팅당 평균 2.7센트의 손실이 예상됩니다.

확률 이론에서 “평균”은 위 계산에서 볼 수 있듯이 실제로 산술 평균이 아닌 무한 수열의 수렴과 관련된 극한을 의미합니다. 이 의미는 수학적 기댓값 공식에 존재하는 확률(함수로서)로 주어집니다. 일반적으로 확률 이론은 여러 수학적 개념의 특징으로 무한대를 가정하는 이상적인 수학적 조건에서 얻은 결과를 제공합니다.

이러한 조건은 모든 도박 경험이 유한한 현실 세계에서는 재현되지 않습니다. 그렇기 때문에 ‘기대’와 ‘평균’이라는 수학적으로 관련된 개념을 문자 그대로 받아들여서는 안 됩니다. 이러한 개념은 정확한 예측이 아닌 수학적 척도를 반영합니다. 즉, 실제로 1,000개 이상의 게임에 투입된 달러 베팅의 2.7센트보다 적거나 더 많이 잃을 수 있습니다. 플레이어가 그 베팅을 무한히 여러 번 플레이할 수 있는 경우에만 누적 손실은 정확히 그 비율로 발생합니다.

계산된 기대치로 돌아가서, 다른 유형의 기본 베팅(직선, 분할, 거리, 색상 등)에 대해 계산하면 1달러 베팅의 손실률이 2.7센트(부정적인 기대치)와 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 이는 이러한 모든 기본 베팅에 대한 기대치가 동일하게 유지되기 위해 룰렛의 지급 일정이 선택되기 때문에 발생합니다.

통화를 제거하면 이 비율인 2.7%가 유럽 룰렛의 하우스 엣지라고 합니다(미국 룰렛의 경우 하우스 엣지는 약 5.26%입니다). 하우스 엣지는 기대값의 반대값으로 정의되며, 플레이어의 베팅으로 인해 장기적으로 하우스가 벌어들이는 수익률을 반영합니다. 단 하나의 숫자(더블 제로)만 추가하면 아메리칸 룰렛의 하우스 엣지가 거의 두 배로 증가합니다. 양의 하우스 엣지는 장기적으로 망치지 않는다는 하우스의 수학적 보장을 의미합니다.

37개 또는 38개의 숫자를 선택할 수 있는 바퀴가 달린 이 게임은 누구나 할 수 있는 확률과 기대치를 계산하기 위한 숫자 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등 쉬운 수학을 뒤에 두고 있는 것으로 보입니다. 바퀴에 있는 숫자로 더 많은 일을 하려면 어떻게 해야 할까요? 이 숫자들을 (1에서 36까지) 더하면 됩니다. 이 경우 “야수의 숫자”인 666이 나오지만, 물론 룰렛 수학과는 아무런 관련이 없지만, 전설에 따르면 프랑수아 블랑(1842년 룰렛 바퀴에 0을 더한 두 형제 중 한 명)이 룰렛의 비밀을 얻기 위해 악마와 흥정했다고 합니다(Strzalko et al., 2009, p.5).

그렇다면 룰렛 수학은 보기만큼 간단할까요? 룰렛은 조합론적 게임(즉, 카드 게임이나 슬롯과 같이 최종 결과물이 조합된 게임)이 아니며 샘플 공간이 기본 이벤트로 휠의 숫자로만 구성되어 있고 전략적 게임도 아니기 때문에 ‘예’라고 대답할 수 있습니다. 하지만 휠에서 룰렛 베팅 테이블로 시야와 초점을 이동하면 조금 더 고급스러운 수학이 포함될 수 있는 흥미로운 점이 드러날 수 있습니다.파워볼사이트

룰렛 테이블: 배치, 베팅 및 수학적 구조

룰렛 인기에 기여하는 또 다른 요소는 베팅을 자유롭게 할 수 있다는 점입니다. 단순 베팅(테이블 위에 칩을 고유하게 배치하여 이루어지는 단순 베팅이라고 함)에 대해서만 이야기한다면, 이러한 베팅을 가능하게 하는 154개의 가능한 배치(직진, 스플릿, 스트리트, 코너 등 알려진 모든 내부 및 외부 배치)가 있습니다.

그러나 여러 개의 베팅을 한 번에 다양한 베팅(복소수 베팅 또는 결합 베팅이라고 함)으로 나눈 베팅을 고려해 보겠습니다. 이러한 결합 베팅의 가능성은 엄청난 숫자로, 즉 2가 154의 거듭제곱으로 증가하여 47자리 숫자가 됩니다!

누구나 테이블 위의 모든 곳에 칩을 펼쳐놓고 어떤 커버리지를 확보할 수 있지만, 게임에서 결합 베팅을 하는 것은 혼란스럽게 이루어질 수 없습니다. 사소한 예로, 모든 숫자에 동일한 지분(예: $1)으로 38개의 스트레이트업 베팅을 해서 아메리칸 룰렛 테이블을 채우는 사람은 아무도 없습니다. 왜냐하면 결과에 상관없이 패배하기 때문입니다. 실제로, 한 숫자가 이기고 다른 숫자가 37개가 지기 때문에 그 베팅의 “이익”은 35$ ˗ 37 × 1$ = ˗ 2$가 됩니다. 우리는 이러한 베팅(결과에 상관없이 패배하는 resulting)을 모순적이라고 부릅니다.

또는 1부터 18까지의 각 숫자에 대해 직설적인 베팅을 하고 더 높은 지분을 가진 High에 베팅한다고 가정해 보겠습니다. 베팅이 모순되지 않으려면 High의 지분이 직설적인 지분보다 몇 배나 더 높아야 하나요? 이렇게 하면 간단한 대수 방정식과 부등식을 풀어야 하므로 승수는 18을 제외한 모든 숫자여야 합니다.

베팅을 플레이어에게 유리하게 설정할 가능성을 제한하는 일련의 규범이 있나요? 어떤 베팅이 가치가 있고 어떤 베팅이 가치가 없는지 어떻게 결정할 수 있을까요? 게임에서 사용할 수 있는 방대한 수의 베팅 중에서 베팅을 어떻게 선택할 수 있을까요? 베팅을 어떻게 최적화하고 어떤 기준으로 최적화할 수 있을까요? 룰렛 수학은 이러한 모든 질문에 답할 수 있습니다.

간단한 베팅 B는 트리플(A, pA, S) 형태의 수학적 객체로 볼 수 있습니다. 여기서 A는 베팅의 배치(그 베팅이 다루는 숫자 집합, 즉 베팅의 커버리지)이고, pA는 A와 관련된 지급률(pA는 룰렛 규칙에 따라 1, 2, 8, 11, 17, 35 값만 취할 수 있음)이며, S는 지분입니다. 그런 다음 복잡한 베팅은 간단한 베팅(Ai, Pai, Si)의 계열로 표현할 수 있습니다.

모든 베팅 B(단순 또는 복소수)에 대해 실수 값을 가진 룰렛의 수에 따라 함수를 정의할 수 있으며, 이를 bet B의 수익 함수라고 합니다. 이 함수는 스핀의 결과에 따라 bet B의 수익 또는 손실을 반영하며, 이 함수의 표현은 bet B가 구성하는 단순 베팅의 커버리지(사실상 해당 세트의 특성 함수), 지급률 및 지분을 포함합니다. 수익 함수를 기반으로 베팅 간의 동등성 관계를 정의할 수 있으며, 이는 배치 가능성을 크게 줄여줍니다(B ă르보이아누, 2007, 22-53쪽).

이 수익 함수와 그 속성으로부터 룰렛에 적용되는 전체 수학은 배치와 베팅을 잘 알려진 수학적 구조, 즉 대수적 및 위상적 구조로 발전시키고 정리합니다. 이러한 구조의 수학적 속성을 사용하여 우리의 룰렛 플레이 전략에 맞게 베팅을 선택, 조정 또는 변환하는 방법, 즉 베팅을 개선하는 방법을 이해할 수 있습니다.

룰렛에서는 (예를 들어 블랙잭에서처럼) 최적의 플레이가 존재하지 않으며, 어떤 전략도 대부분 주관적이며 선택으로 되돌아갑니다. 수학은 플레이어에게 개인 베팅 시스템이나 행동과 관련된 모든 객관적인 정보를 제공하고 수학적 데이터와 함께 선택의 대안을 제공함으로써 이러한 선택을 할 수 있도록 도와줍니다. 예를 들어, 두 개 이상의 동등한 복잡한 베팅 중 가장 좋은 선택은 일련의 플레이에 대한 자금 관리와 예산 대비 커버리지의 확대와 관련된 기준으로 인해 서로 배타적인 (단순 베팅 중) 베팅을 하는 것입니다.슬롯사이트

룰렛을 할 때 수학에 의존하는 이유

룰렛 베팅의 기초가 되는 단순하거나 고급 수학적 구조가 무엇이든, 룰렛 휠을 보고 원형으로 배열된 모든 숫자가 대칭적으로 배열된 룰렛 테이블에서 발생할 가능성이 동일하다는 것을 알면서도 여전히 룰렛을 무시하는 경향이 있을 수 있습니다. 하지만 이런 평등과 대칭성에도 불구하고 룰렛 숫자는 동일한 지위를 갖지 못합니다.파워볼사이트

이는 테이블에서 동일한 유형의 고유한 배치를 가진 숫자 그룹을 다룰 수 없기 때문입니다. 예를 들어 7과 8은 분할 베팅으로 커버할 수 있지만 7과 12는 커버할 수 없고, 후자는 분할 베팅과 다른 배당금을 가진 라인 베팅, 퍼스트 12, 또는 레드 베팅으로 커버할 수 있습니다. 따라서 테이블 구성 때문에 모든 숫자가 가능한 배치에 대해 동일한 상태를 갖는 것은 아닙니다.

룰렛 베팅의 수학은 이 사실을 고려하며, 룰렛 숫자 간의 비동등성은 전략과 관련하여 수학적으로 추측할 수 있습니다.

수학이 룰렛 게임에 기여하는 기본적인 요소는 모든 베팅과 관련된 수학적 정보입니다. 즉, 결과와 다양한 베팅 전략 또는 시스템에 따라 배당률/확률과 기대치의 형태로 측정하고 이익(또는 손실)의 평균과 유효값(또는 손실)을 측정하는 것입니다. 이러한 정보를 어떤 우연의 게임에서든 노출하는 것은 거의 윤리적인 요구 사항처럼 들립니다.

놀랍게도 룰렛은 모든 확률 게임 중에서 가장 높은 확률을 제공하며, 90% 이상의 당첨 확률을 가진 베팅을 찾을 수 있습니다. 실제로 이러한 확률은 베팅의 커버리지에 따라 증가합니다. 예를 들어, 각각 1달러의 지분을 가진 블랙 숫자에 대한 17개의 직선 베팅과 18달러의 지분을 가진 레드 베팅으로 구성된 복잡한 베팅은 당첨 확률이 92.09%입니다. 하지만 너무 흥분하지 마세요: 숫자나 색상 중 하나에서 이기면 1달러의 수익만 얻을 수 있습니다.

이 베팅에 만족하고 이 베팅을 반복적으로 실행할 수 있지만, 실패할 경우 35달러의 비용이 발생하여 이전에 예상했던 35달러의 수익이 취소됩니다. 이 베팅의 예상 가치는 -1.84달러로, 큰 당첨 확률에도 불구하고 35달러 베팅의 평균 손실이 예상됩니다. 이는 실제로 아메리칸 룰렛의 하우스 엣지 비율이지만, 수익의 경우에도 투자로서의 지분 대비 수익률은 약 2.85%에 불과합니다. 이는 모두 해당 베팅의 수익 함수에 있습니다.

승리 확률은 항상 게임의 배당률에 따라 기대값으로 상쇄되며, 하우스 엣지가 유지되는 것은 당연한 일입니다. 일반적으로 확률, 기대값, 지분 간의 상호 균형은 게임의 최적 플레이(가능하다면)를 도출하고 전략을 수립할 수 있는 객관적인 기준입니다. 수학은 이러한 정보를 정리하고 적용 가능하고 효과적으로 만드는 데 도움이 됩니다. 수학의 본질은 가장 엄격한 방식으로 생각을 정리하는 것입니다. 좋은 정리는 활동 영역에 관계없이 항상 시간과 자원을 확보하는 데 도움이 됩니다.

룰렛의 경우에도 마찬가지입니다. 수학에는 조직 외에도 확인 및 최적화와 같은 다른 역할도 있습니다. 룰렛에서 이러한 역할은 플레이어가 단기 또는 장기 플레이의 궁극적인 결과(승패)가 무엇이든, 플레이에 필요한 정보가 정확하고 이용 가능하며, 수학적 진리에 의문을 제기할 수 없기 때문에 올바른 모델을 따랐을 수 있음을 보장합니다.토토사이트

결론

룰렛은 확률 이론의 초기 아버지인 수학자 블레즈 파스칼에 의해 발명되었으며, 룰렛을 비롯한 우연의 게임의 사례와 응용 사례의 지원으로 더욱 발전했습니다. 또한 대수 모델을 기반으로 한 유명한 프로그레시브 베팅 시스템(마팅게일, 달랑베르 등)은 룰렛에서 처음 발견되고 테스트된 후 다른 게임에 적용되었습니다. 따라서 룰렛은 수학적으로 자유로울 수 없습니다.

룰렛의 수학적 배경을 두려워하거나 피해서는 안 됩니다. 사실 룰렛을 깊이 이해할 필요는 없고, 수학적 결과를 사용자가 쉽게 이해할 수 있는 형태로 제공할 수 있습니다. 그렇다고 해서 어떤 승리도 보장할 수는 없지만 수학적으로 구상된 게임에 대한 올바른 접근 방식을 보장할 수 있습니다.토토사이트